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Spécial “ CFM 2007 ”
27
Acoustique
&
Techniques n° 50
Une étude expérimentale du pompage énergétique en acoustique
Ici, le premier oscillateur est un système masse-ressort linéaire
classique. Le second est composé d’une masse, d’une raideur
non linéaire cubique et d’un amortisseur. En rapportant le
temps à la fréquence naturelle de l’oscillateur linéaire, les
équations adimensionnées reliant les positions u
1
(t) et u
2
(t)
des masses sont :
˙˙ u
1
+
u
1
+
u
1
u
2
(
)
=
0
˙˙ u
2
+
3
u
2
3
+ μ
u
2
u
2
u
1
(
)
=
0
(1)
avec
γ
le rapport des masses,
β
le petit coefficient de
couplage, µ le coefficient d'amortissement dans l'oscillateur
non linéaire et
α
3
le coefficient de raideur cubique. Un tel
système permet de reproduire le phénomène de pompage
énergétique [4, 6, 5]. Pour des travaux théoriques sur ce
système, nous pouvons nous référer à Vakakis et Gendelman
[7] et Lee et al. [2].
Notre but a donc été de mettre en place un modèle équivalent
à celui représenté par les équations (1) où le système à calmer
serait un milieu acoustique. L’idée est de remplacer l’oscillateur
mécanique linéaire par l’air contenu dans un tube et vibrant sur
le premier mode acoustique de celui-ci, le ressort de couplage
par l’air contenu dans une boîte de couplage et l’oscillateur
non linéaire par une fine membrane circulaire visco-élastique
à peine tendue comme nous pouvons le voir sur le schéma
de principe (figure 2).
Un modèle continu associé à cette idée peut être développé.
Préférant mettre l’accent sur les résultats expérimentaux
nous ne présentons ici que les principaux points permettant
de construire ce modèle. Celui-ci est obtenu grâce aux
équations d’Helmholtz pour l’air contenu dans le tube et aux
équations non linéaires de plaque de type Von Kàrmàn pour la
membrane. Un modèle de Kelvin-Voigt est adopté pour tenir
compte de la viscosité dans la membrane : le second tenseur
de contrainte de Piola-Kirchhoff
S
est déduit du tenseur de
déformation de Green-Lagrange
E
et de sa dérivée temporelle
par la relation
S
=
D
:
E
+
η
E
.
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
où
η
est le coefficient d'amortissement et
D
est le tenseur
isotropique de Hooke ne dépendant que du module d’Young
E
et du coefficient de poisson
ν
. En première approximation, le
modèle continu peut être réduit à un système à deux degrés
de liberté en prenant
U x,t
( )
=
u t
( )
cos x
L
où U est le déplacement de l’air dans le tube (premier mode)
et
w r,t
( )
=
q t
( )
1 r
R
2
où w est le déplacement transversal de la membrane
circulaire (fonction de forme parabolique). Les variables u
et q correspondent au déplacement de l’air à l’extrémité du
tube (côté boîte de couplage) et au déplacement du centre
de la membrane. Dans la boîte, la vitesse acoustique est
supposée négligeable et la pression est alors considérée
comme spacialement uniforme.
Celle-ci est reliée à la variation de volume par
p
=
c
2
V
V
avec
V
=
u t
( )
S
t
q t
( )
hS
m
2
.
En appliquant une méthode classique de Galerkin, nous
obtenons le système réduit suivant :
˙˙ u
+
u
+
u q
(
)
=
0
q
+
3
2 ˙˙ q
2
q
+
˙ q
3
(
)
+
q u
(
)
=
0
(2)
qui ressemble au système (1) excepté pour le terme dissipatif
qui est ici non linéaire à cause de la non-linéarité géométrique
de lamembrane. La partie linéaire de la raideur de lamembrane
a été négligée en considérant que celle-ci oscille toujours sous
de grandes amplitudes. La fréquence naturelle de l’oscillateur
linéaire étant
ω
=
π
c
L
nous avons :
˙˙ u
+
u
+
u q
(
)
=
0
˙˙ q
+
3
2 q
2
˙ q
+
q
3
(
)
+
q u
(
)
=
0
où h, R, S
m
et
ρ
m
sont l’épaisseur, le rayon, la section et la
masse volumique de la membrane, L et St sont la longueur et
la section du tube, V est le volume de la boîte de couplage, E
le module d’Young de la membrane,
ρ
air
la masse volumique
de l’air et c la vitesse du son.
Grâce à ce modèle, nous avons pu simuler le comportement
du système et observer pour quelles valeurs des différents
paramètres nous pouvions obtenir le phénomène de pompage
énergétique. Nous avons ainsi pu dimensionner le montage
afin d’avoir :
Fig. 1 : Système mécanique à deux degrés de liberté
Fig 2 : Schémas de principe du dispositif expérimental
acoustique équivalent au système mécanique
à deux degrés de liberté de la figure 1